формулировка
множеств теории (См.
Множеств теория) в виде формальной (аксиоматической) системы (см.
Аксиоматический метод)
. Основным побудительным стимулом для построения А. т. м. явилось открытие в "наивной" теории
множеств Г.
Кантора
. предназначенной для обоснования классической математики,
Парадоксов (антиномий), т. е. противоречий. Все эти парадоксы (например, парадокс Кантора, связанный с рассмотрением "множества всех
множеств", или парадокс Рассела, в котором рассматривается "множество всех
множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента") обусловлены неограниченным применением в канторовой теории
множеств т. н. принципа свёртывания (или абстракции), согласно которому для всякого свойства существует множество, состоящее из всех предметов, обладающих этим свойством (этот принцип фактически содержится уже в первой фразе всех традиционных изложений теории
множеств: "мы будем рассматривать произвольные множества элементов произвольной природы" и т.п.).
В первой из известных систем А. т. м. - системе Цермело - Френкеля, или
ZF (сформулирована в 1908 Э.
Цермело, пополнена в 1921 - 22 и позже А. Френкелем), принцип свёртывания заменяется несколькими его частными случаями: аксиомой существования пары
{х,у} любых (данных)
множеств х и
у, аксиомой существования объединения всех элементов произвольного множества
х в новое множество
S (
x), аксиомой существования множества
Р(
х) всех частей произвольного множества
х, аксиомой существования бесконечного множества и т.н. схемами аксиом выделения (согласно которой для всякого множества
х и свойства р существует множество элементов
х, обладающих свойством φ) и подстановки (утверждающей, что для любого взаимно однозначного отображения элементов множества
х, описываемого на языке системы
ZF, существует множество таких
z, на которые отображаются эти элементы
х)
. Не подпадает под схему принципа свёртывания т. н. аксиома выбора (о существовании "множества представителей", т. е. множества содержащего в точности по одному элементу из каждого из данных непустых попарно непересекающихся
множеств). Как и во всякой другой системе А. т. м., в
ZF постулируется также аксиома объёмности (экстенсиональности), согласно которой множества, состоящие из одних и тех же элементов, совпадают. Иногда к
ZF присоединяют некоторые др. аксиомы более специального назначения. Формулы
ZF получаются из "элементарных формул" вида
х ∈
у ("
x принадлежит
y") средствами исчисления предикатов (См.
Исчисление предикатов)
.
Позднее были построены многочисленные видоизменения
ZF и систем, отличающихся от
ZF тем, что "плохие" (приводящие к парадоксам) совокупности элементов не вовсе исключаются из рассмотрения, а признаются "собственно классами", т. е. множествами, не могущими принадлежать в качестве элемента другим множествам (эта идея, идущая от Дж
.Неймана
, была затем развита швейцарским математиком П. Бернайсом, К.Гёделем (См.
Гёдель) и др.). Системы эти, в отличие от
ZF, могут быть заданы посредством конечного числа аксиом.
Другой подход к А. т. м. воплощён в теории типов Б.
Рассела и А. Н. Уайтхеда (Англия, 1910-13) и её различных модификациях, в которых на аксиому свёртывания не накладывают типичных для
ZF и др. систем ограничений, но реформируют сам язык теории: вместо одного алфавита переменных
х, у, z... вводится бесконечная последовательность алфавитов:
x1,
y1,
z1,...;
x2,
y2,
z2,...;...;
xn,
yn,
zn,...;... различных "типов"
n, а элементарные формулы имеют вид
xn∈
yn+1 или
xn = yn. Теории типов строятся на основе исчисления предикатов с различными видами переменных [а при естественной замене символики xn∈yn+1 на yn+1(xn) и xn = yn на xn Аксиоматическая теория множеств yn сами могут рассматриваться как системы расширенного исчисления предикатов, а не теории множеств]. В системе NF (New Foundation), введённой в 1937 американским математиком У. в. О. Куайном, комбинируются оба упомянутых подхода: язык NF - тот же, что в ZF, а аксиомы свёртывания должны получаться из аксиом теории типов удалением индексов при переменных.
Для различных систем А. т. м. и отдельных их аксиом рассматривался вопрос об их (относительной) непротиворечивости (См.
Непротиворечивость)
. В 1940 К. Гёдель доказал относительную непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы (см.
Континуума проблема) для описанной им системы ∑ и
ZF; в дальнейшем этот результат был перенесён на теорию типов (самую слабую из перечисленных систем), а затем и на
NF (в соответствующей форме). В 1963 американский математик П. Дж. Коэн доказал для
ZF (а тем самым и для ∑ ) относительную непротиворечивость отрицания континуум-гипотезы, в т. ч. и в случае, если к
ZF присоединена аксиома выбора. Он же доказал, что к
ZF можно присоединить без возникновения противоречия аксиому о том, что континуум не может быть вполне упорядочен (из этой аксиомы сразу следует отрицание аксиомы выбора).
Упомянутых ограничений на принцип свёртывания (или на язык системы) достаточно, чтобы в А. т. м. не возникал ни один из известных парадоксов. Однако проблема абсолютной непротиворечивости, ввиду теоремы Гёделя о неполноте (см.
Метатеория)
, требует привлечения существенно новых идей. В частности, полученное в 1960 доказательство непротиворечивости
ZF (и теории типов, но не
NF) потребовало привлечения средств т. н. ультраинтуиционизма.
Лит.: Гёдель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщённой континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, пер. с англ., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Есенин-Вольпин А. С., К обоснованию теории множеств, в сборнике: Применение логики в науке и технике, [М., I960], с. 22 - 118; Френкель А. А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966 (библ.); Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; Quine W. О. van, Set theory and its logic, Camb., 1963.
Ю. А. Гастев, А. С. Есенин-Вольпин.